Stabilizing and commuting cochains

As it is well known in K-theory, stabilization of matrices enables them to commute “up to homotopy”. The purpose of this short paper is to describe an analogous philosophy for cochains on a space. It is in fact a direct application of a paper of Henri Cartan [1], together with a new idea of stabilization for cochains, similar to matrices. The application below may be also deduced from a paper of J. Halperin and J. Stasheff [2] by a quite different method. This paper is part of a joint project with P. Baum about the cohomology of homogeneous spaces. Since it has some independent interest, it might be useful to present it on its own right.  2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Stabilisation et commutation des cochaînes Résumé. Comme il est bien connu en K-théorie, la stabilisation des matrices permet de les faire commuter « à homotopie près ». Dans cette Note, nous décrivons une philosophie analogue pour les cochaînes sur un espace. Celle-ci est en fait une conséquence directe d’un article de Henri Cartan [1] et d’une nouvelle idée de stabilisation des cochaînes, analogue à celle de la stabilisation des matrices. Nous donnons aussi une application qui peut être déduite également d’un article de J. Halperin et J. Stasheff [2] par une méthode entièrement différente. Cet article fait partie d’un projet de recherche avec P. Baum sur la cohomologie des espaces homogènes. Puisqu’il a un intérêt en lui-même, nous avons préféré le publier indépendamment de cet objectif.  2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS THEOREM. – Let k be a commutative ring, X an arbitrary space and C∗(X) the differential graded algebra (DGA) of k-cochains on X . Then there exists a functorially defined DGA Ĉ∗(X) and a DGAquasi isomorphism C∗(X)→ Ĉ∗(X) with the following property. For any countable sequence of elements {xi} in the cohomology H∗(X) (with k-coefficients), we can find cochain representatives x̂i of the xi in Ĉ∗(X) such that the x̂i’s commute with each other (in the graded sense). The DGA Ĉ∗(X) is called the “stabilization” of C∗(X). Proof. – Without loss of generality we may assume that X is a simplicial set. Let us consider the free k-moduleC(∆m) with basis the maps from [r] to [m], where [p] denotes in general the finite set {0, . . . , p}. It is well known [1] that the C∗(∆ ) define a simplicial DGA where ∗ denotes the degree and the simplicial dimension. Moreover, C∗(X) is quasi-isomorphic to the k-module Mor(X ,C∗(∆ )) of simplicial maps Note présentée par Alain CONNES. S0764-4442(01)02118-8/FLA  2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés 769